歐式平值看漲期權標的為無紅利股票

A. 如何證明歐式看漲期權與看跌期權價格的平價關系

假設兩個投資組合
A: 一個看漲期權和一個無風險債券，看漲期權的行權價＝X，無風險債券的到期總收益=X
B: 一個看跌期權和一股標的股票，看跌期權的行權價格＝X，股票價格為S

投資組合A的價格為：看漲期權價格（C）＋無風險債券價格（PV(X)）。PV(X)為債券現值。
投資組合B的價格為：看跌期權價格（P）＋股票價格S

畫圖或者假設不同的到期情況可以發現，A、B的收益曲線完全相同。根據無套利原理，擁有相同收益曲線的兩個投資組合價格必然相同。所以 C＋PV(X)=P+S，變形可得C-P=S-PV(X)

B. 寫出歐式看漲期權和看跌期權平價公式並給出證明

C+Ke^(-rT)=P+S0

平價公式是根據無套利原則推導出來的。

構造兩個投資組合。
1、看漲期權C，行權價K，距離到期時間T。現金賬戶Ke^(-rT)，利率r，期權到期時恰好變成K。
2、看跌期權P，行權價K，距離到期時間T。標的物股票，現價S0。

看到期時這兩個投資組合的情況。
1、股價St大於K：投資組合1，行使看漲期權C，花掉現金賬戶K，買入標的物股票，股價為St。投資組合2，放棄行使看跌期權，持有股票，股價為St。
2、股價St小於K：投資組合1，放棄行使看漲期權，持有現金K。投資組合2，行使看跌期權，賣出標的物股票，得到現金K
3、股價等於K：兩個期權都不行權，投資組合1現金K，投資組合2股票價格等於K。

從上面的討論我們可以看到，無論股價如何變化，到期時兩個投資組合的價值一定相等，所以他們的現值也一定相等。根據無套利原則，兩個價值相等的投資組合價格一定相等。所以我們可以得到C+Ke^(-rT)=P+S0。

C. 某無股息股票的價格為19美元，歐式看漲期權行權價格20美元。。。求期權價格

這題的可以依據Call-Put平價公式為P+S=C+Ke^[-r(T-t)]來進行，依題意可知，S=19，C=1，K=20，e^[-r(T-t)]=1/(1+4%*3/12)=1/1.01，把相關數值代入公式可得：P+19=1+20/1.01，解得，P=1.8美元。也就是說對於該股票的3個月期限行使價格為20美元的看跌期權的價格是1.8美元。

D. 在利率為正的前提下，提前了解一個美式看漲期權多頭頭寸（標的資產無紅利支付）的最好方法是（ ）

答案選C
知識點一、提前執行無紅利美式看漲期權不合理。
知識點二、建倉及期權頭寸了結方式
(一)建倉方向和頭寸
1、開倉買入 (多頭)，包括買入看漲期權和買入看跌期權。
2、開倉賣出 (空頭)，包括賣出看漲期權和賣出看跌期權。
(二)頭寸了結。
1、期權多頭頭寸的了結方式：對沖平倉；行權了結；持有合約至到期。
(1) 對沖平倉：無論標的物變化趨勢對買方是否有利，均可對沖了結
有利：獲利了結；不利：對沖，抵補權利金損失
平倉時，權利金高低、市價指令還是限價指令，由交易者定，但是方向，必須與建倉相反，平倉期權必須與建倉同一期權（標的合約、到期月份、執行價格相同），如全部平倉，數量應相等
(2) 行權了結：當看漲期權標的物市價高於執行價格、當看跌期權標的物市價低於執行價格，可以行權了結，看漲期權買方按執行價格買入標的物，持倉轉為標的物多頭，看跌期權買方按執行價格賣出標的物，持倉轉為標的物空頭
(3) 持有合約至到期：買方可持有到期，如為實值期權，則交易所自動行權，除非買方提出不行權。如為虛值期權，作廢，權利金消除
2、期權空頭頭寸的了結方式：對沖平倉；接受買方行權；持有合約至到期。
(1) 對沖平倉：同上
(2) 行權了結：當買方提出行權，賣方必須履約。看漲期權賣方履約，按執行價格將標的資產賣給對手，其持倉轉為標的物空頭，看跌期權賣方履約，按執行價格將標的資產買入，其持倉轉為標的物多頭，
(3) 持有合約至到期：實值期權，則交易所自動行權；虛值期權，賣方或全部權利金收入

E. 一個無股息股票看漲期權的期限為6個月，當前股票價格為30美元，執行價格為28美元，無風險利率為每年8%

看漲期權下限套利是指（下文分析針對歐式期權）：

任何時刻，不付紅利的歐式看漲期權的價格應高於標的資產現價S與執行價格的貼現值Ke^-rT的差額與零的較大者。即不付紅利的歐式看漲期權價格應滿足以下關系式：

C>max(S-Ke^-rT,0)

其中，C代表看漲期權權利金；K為期權執行價格；T為期權的到期時間；S為標的資產的現價r為在T時刻到期的投資的無風險利率（連續復利）。

當S-Ke^-rT>0，且C<S-Ke^-rT時，則可以進行看漲期權下限套利。即買入看漲期權，同時做空標的資產。

從另一個角度來理解，期權下限套利的含義是指期權價格應當大於其內涵價值與零的較大者。期權的價值由內涵價值和時間價值構成。其中，期權的內涵價值是指買方立即行權所能獲得的收益。

具體到你的題目，該看漲期權的下限是max(S-Ke^-rT,0)。經計算，S-Ke^-rT為30-28^-0.08*6/12=3.0979.看漲期權的下限是max(3.0979,0)=3.0979

如果此時看漲期權價格低於3.0979，就滿足了單個看漲期權下限套利的條件，即S-Ke^-rT>0，且C<S-Ke^-rT，便可以進行套利。

看漲期權下限套利的損益曲線，類似於將買入看跌期權的損益曲線全部平移至0軸上方。損益示意圖如下（注意僅為示意圖，本題需要修改數字，我就不重畫了）

操作方式是，買入看漲期權，同時做空標的資產（股票）。簡言之，就是「買低賣高」。在實際操作中，我們還可以利用標的資產的期貨來替代標的資產現貨，實現更便捷的操作和更低的交易費用。尤其是有的國家做空股票很不方便，例如中國（我國需要融券做空，費用高，流程繁瑣）。

另外補充一下，期權套利分為三大類：一是單個期權套利，包括單個期權上限套利、單個期權下限套利；二是期權平價套利，包括買賣權平價套利、買賣權與期貨平價套利；三是多個期權價差套利，又稱為期權間價格關系套利，包括垂直價差上限套利、垂直價差下限套利、凸性價差套利、箱式套利。