1. 怎樣求解布朗運動的期望和方差
怎樣求解布朗運動的期望和方差
布朗運動（Brownian motion）是一種正態分布的獨立增量連續隨機過程。它是隨機分析中基本概念之一。其基本性質為：布朗運動W（t）是期望為0方差為t（時間）的正態隨機變數。對於任意的r小於等於s，W（t）-W（s）獨立於的W（r），且是期望為0方差為t-s的正態隨機變數。可以證明布朗運動是馬爾可夫過程、鞅過程和伊藤過程。
2. 什麼是ITO定理
伊藤過程
控制論
的發明人維納在1923年指出，布朗運動在數學上是一個隨機過程，提出了用「隨機微分方程」來描述，因此人們也把布朗運動稱為維納過程；
日本
數學家伊藤發展建立了帶有布朗運動干擾項的隨機微分方程，
dx(t)=μ（t,x）dt+σ（t,x）dB
σ（t,x）是干擾強度，μ（t,x）是漂移率
該方程描寫的過程是伊藤過程。伊藤過程可看成為一般化的維納過程，它直接把布朗運動理解為隨機干擾，從而賦予了布朗運動最一般的意義。
布朗運動是隨機漲落的典型現象, 一般地說，許許多多的宏觀觀測，都要受到布朗運動的限制. 法國經濟學家Bachelier L把股價的變動理想化為布朗運動,在此基礎上，經濟學家把伊藤過程方程用於描寫股票價格)（!）行為過程的一種模式，為更確切地描寫股票價格的行為過程，伊藤過程方程被修正為
dS(t)/S(t)=μdt+σdB
其中σ為股票價格波動率、 μ為股票價格的預期收益率,人們把它稱為股價方程，它是一個隨機微分方程.由伊藤過程描述的股價方程是一個正向的隨機微分方程，從確定的S(0)=S0出發，根據布朗運動
的隨機變數B(t)在0-t之間的形態，來推斷軌線的統計行為.
3. ssc在數學中公式
本系列的前篇從布朗運動出發，介紹了布朗運動的性質並解釋了為什麼使用幾何布朗運動來描述股價是被投資界廣泛接受的。此外，前文給出了伊藤引理的最基本形式，它是隨機分析的基礎，為分析衍生品定價提供了堅實的武器。
作為本系列的後篇，本文將從擴展伊藤引理出發，並用它求解幾何布朗運動，然後推導 BS 微分方程以及 BS 公式（也稱 Black-Scholes-Merton 公式）。在介紹 BS 公式時，論述的重點會放在衍生品定價中的一個核心方法，即風險中性定價理論。此外，我們會花一定的筆墨來解釋 BS 公式中的兩個核心要素（即 N(d_1) 和 N(d_2) 的業務含義），明白它們對理解 BS 公式至關重要。
閱讀提示：下文中將涉及大量數學公式，對閱讀體驗造成影響，我們表示歉意。我們當然不是在寫學術論文，但是必要的數學推導對於理解期權定價模型至關重要。如果你對閱讀大數學實在不感興趣，可以跳過第二、三兩節，從第四節開始看。
在那之前，先來點輕松的，看看 Black，Scholes 和 Merton 三位大咖長什麼樣子。Scholes 和 Merton 因在衍生品定價方面的傑出工作於 1997 年獲得諾貝爾經濟學獎。Black 沒有在列的原因是他不幸地於 1995 年去世，而諾貝爾獎不追授給頒獎時已故 6 個月以上的學者。
2 伊藤引理的一般形式
在前篇中，我們介紹了帶有漂移（drift）和擴散（diffusion）的布朗運動有如下形式的隨機微分方程。在這里，μ 和 σ 被假定為常數。
更一般的，漂移和擴散的參數均可以是隨機過程 X(t) 以及時間 t 的函數。假設我們令 a(X(t),t) 和 b(X(t),t) 表示漂移和擴散參數（則在上面這個例子中，a(X(t),t) = μ 而 b(X(t),t) = σ）。我們稱滿足如下隨機微分方程（stochastic differential equation，或 SDE）的隨機過程為伊藤漂移擴散過程（Itō drift-diffusion process，下稱伊藤過程）：
令 f(X(t), t) 為 X(t) 的二階連續可導函數（並對 t 一階可導），由伊藤引理可知（省略自變數以簡化表達）：
將 dX = a(X(t),t)dt + b(X(t),t)dB 帶入上式，並且略去所有比 dt 更高階的小量，最終可以得到伊藤引理的一般形式：
由 f 的 SDE 可知，作為 X 和 t 的函數運鏈，f 本身也是一個伊藤過程。更重要的是，伊藤引理說明，df 表達式右側的布朗運動 dB 恰恰正是 dX 表達式中的那個布朗運動。換句話說，在 f 和 X 的隨機性由同一個布朗運動決定，而非兩個獨立的布朗運動。這一點在下文中推導 BS 微分方程時至關重要。
下面我們就利用伊藤引理求解幾何布朗運動。
3 幾何布朗運動求解
對於股票價格 S，可以用滿足如下 SDE 的幾何布朗運動來描述。
上式中 μ 是股票的期望年收益率，σ 是股票年收益率的標准差。顯然，這是一個旁洞孫伊藤過程（a = μS，b = σS）。為了求解 S，令 f = lnS（S 的自然對數）並對 df 使用伊藤引理（註：為了保持符號和前篇的一致性，我們用 S 而非 X 代表股票價格的隨機過程）得到 lnS 的 SDE：
這個式子說明，lnS 是一個帶漂移的布朗運動，它的漂移率為 μ – 0.5σ^2，波動率為 σ。由布朗運動顫攜的性質可知，在任何時間 T，lnS 的變化符合正態分布：
如果一個隨機變數的對數滿足正態分布，我們說這個隨機變數本身滿足對數正態分布（lognormal distribution）。因此，當我們用幾何布朗運動來描述股價波動時，得到的股價滿足對數正態分布。
通過對 lnS 的 SDE 兩邊積分，再對等式兩邊取指數，便可很容易的寫出股價隨時間變化的解析式：
上式乍一看好像有悖於我們的直覺。我們已知股票的年收益率期望為 μ。但在上式中，拋開 B(T) 帶來的隨機性不談而僅看時間 T 的系數，股價的增長速率是 μ – 0.5σ^2 而不是 μ。這意味著什麼呢？數值 μ – 0.5σ^2 又是否是什麼別的收益率呢？
正確答案是，μ – 0.5σ^2 恰恰是股票每年的連續復利期望收益率。利用股價 S 的對數正態特性可以說明這一點。假設 x 代表股票每年的連續復利收益率。因此有 S(T) = S(0)e^(xT)，或 x = (1/T)×(lnS(T) - lnS(0))。由上面的分析可知，lnS(T) – lnS(0) 符合均值為 (μ – 0.5σ^2)T、方差為 (σ^2)T 的正態分布。因此每年的連續復利收益率 x 也是正態分布並且滿足：
直觀比較股票的每年期望收益率 μ 和每年連續復利期望收益率 μ – 0.5σ^2，後者考慮了波動 σ，它們的區別就是年收益率序列算數平均值和幾何平均值的區別。
來看一個例子。假設某股票在過去五年的年收益率分別為 15%，20%，30%，-20% 和 25%。這個序列的算數平均值為 14%，因此該股票的每年的（樣本）期望收益率 μ = 14%。再來看看它每年連續復利期望收益率是多少。假設我們在五年前花 100 塊買入它並持有 5 年，那麼在 5 年後我們的回報是 100×1.15×1.20×1.30×0.80×1.25 = 179.4。因此每年（樣本）連續復利期望收益率（即這個收益率序列的幾何平均值）為 12.4%，顯然它低於算數平均值
4. 金融學里的伊藤引理解決了一個什麼問題
指任一金融衍生物的價格是其標的物的價格和時間的函數.比如對於股票期權V,其標的股票價格為S,則V=F(S,T)
按照泰勒展開帶如連續時間模型,才有了B-S模型.
5. 期權風險中性定價
很多小夥伴在學金融工程時，必然會遇到這樣一個問題是 為什麼在期權定價中可以使用風險中性定價 ？
但追根究底地說，
風險中性不是假設，而是推論。
風險中性不是假設，而是推論。
風險中性不是假設，而是推論。
而這篇文章，就帶著你將這個推論一步一步地推導出來。
所謂的期權風險中性定價法，即在風險中性測度 下，推導得到期權的價值為 ，即
其中， 為 時刻的無風險利率， 為 時刻的 代數， 則為期權在 時刻到期時支付的現金流。(例如，對於常見的歐式看漲期權， )
特別的，在 的情況下
細心的同學可以發現， 是定義在 上的變數，而 則是一個常量。而這個常量的值，正是我們希望得到的期權在 時刻的價值。
所以我們的問題就進一步轉化為了對上述公式的證明。
如果不用數學公式來回答的話，那麼答案可以概述為：
現在我們開始一步步展開，並配合數學公式來解釋回答這個問題。
假設目前有兩個資產，分別是 股票 和 現金賬戶 ，
其中 是現實測度 下的標准布朗運動
如果變換測度到 下，則上述公式轉化為
其中 是風險中性測度 下的標准布朗運動。
看到這里你可能會有疑惑，怎麼突然就用到了測度轉換了。別著急，這在文章後半部分 「為什麼要用風險中性」 中就會給出解釋。
所謂的風險中性測度，只是眾多可變換的測度中的一種，例如，我們亦可以將測度轉化為遠期測度(Forward measure)進行定價，當然這是後話。
而提到測度，就不得不提及計價單位(Numeraire)這個概念，引用吳立新教授《Interest Rate Modeling Theory and Practice》一書的原話來說，即
把它翻譯到我們這個案例里：
理解了何為風險中性測度後(what)，剩下的問題就是 why 和 how
直接的回答就是前文提及到的風險中性定價法在金融上的解釋：
該組合需要具備有兩個非常重要的性質
而利用風險中性測度，就能找到這樣的一個資產組合。
假設我們已經利用了風險中性測度完成了對股票價格運動過程的轉換，即
那麼股票以無風險資產(現金賬戶)作為計價單位的價格運動可以記為
根據伊藤公式可以展開為
因為 是風險中性測度 下的標准布朗運動，故而 在測度 下是一個鞅，記為 。而 是 才能引出後文的 Martingale Representation Theorem .
因為 是定義在 上的變數，同樣的， 和 也是。
故而，我們可以定義一個新的變數 ,
可以視為 投影到 空間上的變數，且很容易地可以看出 也是一個 ，證明如下：
根據 Martingale Representation Theorem ，因為 和 都是定義在同一測度空間上的變數，故而必然存在這么一個 ，使得
於是我們得以確定了這個 ，而這也是整個定理邏輯的核心。因為我們可以根據這個 開始構建我們的投資組合：
其中 ，故而這個組合的折現價值為
進一步觀察可以發現
由以上公式可以得到這個組合擁有我們要找的兩個特質
當一個資產組合具備這兩個特質的時候，我們便可以推出，該資產組合和期權擁有一樣的價值，否則就回存在套利機會。
這就引出了最重要的結論：
是的，重復一遍
將 展開成指數形式，可以得到我們的最終結論
至此，推導結束，情理之中、意料之外地得到了風險中性定價公式。 :)
這部分知識在大部分隨機過程的書本上都有提及，維基網路 Girsanov theorem 也有較為詳細的說明，所以此處就不贅述了。
特別地，在學習測度轉換的過程中，給我啟發最大的是這樣一個方程
啟發在於，測度的轉化，類似於將其每個事件元素的概率進行了一定的調整。
所以，如果說 是一個 ，那麼 就是 。
而找到了這個 ，就等於找到了測度轉換的答案。
至此，整個證明過程結束了。不知小夥伴有沒有消化了呢，歡迎Email或留言交流。
Ps. 近期我會開始更新這個博客，求關注哦 :P
6. 求經濟B-S期權定價模型的原理還有計算方法
假定股票價格服從幾何布朗運動，即dSt/St=μdt+σdWt. St為t時點股票價格，μ為漂移量，σ為波動率，Wt為標准布朗運動。使用伊藤公式。然後用無套利原理求得BSPDE。