幾何布朗運動描述股票價格

1. 證券價格服從漂移參數0.05，波動參數0.3的幾何布朗運動，當前價格為95，利率是4% 假設有種

後答案上默認為這個概率等於P［ln(S(0.5)／

2. 幾何布朗運動的介紹

幾何布朗運動(GBM) (也叫做指數布朗運動) 是連續時間情況下的隨機過程，其中隨機變數的對數遵循布朗運動. 1幾何布朗運動在金融數學中有所應用，用來在布萊克-舒爾斯定價模型中模仿股票價格。

3. 布朗運動的金融數學

將布朗運動與股票價格行為聯系在一起，進而建立起維納過程的數學模型是本世紀的一項具有重要意義的金融創新，在現代金融數學中佔有重要地位。迄今，普遍的觀點仍認為，股票市場是隨機波動的，隨機波動是股票市場最根本的特性，是股票市場的常態。
布朗運動假設是現代資本市場理論的核心假設。現代資本市場理論認為證券期貨價格具有隨機性特徵。這里的所謂隨機性，是指數據的無記憶性，即過去數據不構成對未來數據的預測基礎。同時不會出現驚人相似的反復。隨機現象的數學定義是：在個別試驗中其結果呈現出不確定性；在大量重復試驗中其結果又具有統計規律性的現象。描述股價行為模型之一的布朗運動之維納過程是馬爾科夫隨機過程的一種特殊形式；而馬爾科夫過程是一種特殊類型的隨機過程。隨機過程是建立在概率空間上的概率模型，被認為是概率論的動力學，即它的研究對象是隨時間演變的隨機現象。所以隨機行為是一種具有統計規律性的行為。股價行為模型通常用著名的維納過程來表達。假定股票價格遵循一般化的維納過程是很具誘惑力的，也就是說，它具有不變的期望漂移率和方差率。維納過程說明只有變數的當前值與未來的預測有關，變數過去的歷史和變數從過去到現在的演變方式則與未來的預測不相關。股價的馬爾科夫性質與弱型市場有效性(the weak form of market efficiency)相一致，也就是說，一種股票的現價已經包含了所有信息，當然包括了所有過去的價格記錄。但是當人們開始採用分形理論研究金融市場時，發現它的運行並不遵循布朗運動，而是服從更為一般的幾何布朗運動（geometric browmrian motion）。

4. ssc在數學中公式

本系列的前篇從布朗運動出發，介紹了布朗運動的性質並解釋了為什麼使用幾何布朗運動來描述股價是被投資界廣泛接受的。此外，前文給出了伊藤引理的最基本形式，它是隨機分析的基礎，為分析衍生品定價提供了堅實的武器。

作為本系列的後篇，本文將從擴展伊藤引理出發，並用它求解幾何布朗運動，然後推導 BS 微分方程以及 BS 公式（也稱 Black-Scholes-Merton 公式）。在介紹 BS 公式時，論述的重點會放在衍生品定價中的一個核心方法，即風險中性定價理論。此外，我們會花一定的筆墨來解釋 BS 公式中的兩個核心要素（即 N(d_1) 和 N(d_2) 的業務含義），明白它們對理解 BS 公式至關重要。

閱讀提示：下文中將涉及大量數學公式，對閱讀體驗造成影響，我們表示歉意。我們當然不是在寫學術論文，但是必要的數學推導對於理解期權定價模型至關重要。如果你對閱讀大數學實在不感興趣，可以跳過第二、三兩節，從第四節開始看。

在那之前，先來點輕松的，看看 Black，Scholes 和 Merton 三位大咖長什麼樣子。Scholes 和 Merton 因在衍生品定價方面的傑出工作於 1997 年獲得諾貝爾經濟學獎。Black 沒有在列的原因是他不幸地於 1995 年去世，而諾貝爾獎不追授給頒獎時已故 6 個月以上的學者。

2 伊藤引理的一般形式
在前篇中，我們介紹了帶有漂移（drift）和擴散（diffusion）的布朗運動有如下形式的隨機微分方程。在這里，μ 和 σ 被假定為常數。

更一般的，漂移和擴散的參數均可以是隨機過程 X(t) 以及時間 t 的函數。假設我們令 a(X(t),t) 和 b(X(t),t) 表示漂移和擴散參數（則在上面這個例子中，a(X(t),t) = μ 而 b(X(t),t) = σ）。我們稱滿足如下隨機微分方程（stochastic differential equation，或 SDE）的隨機過程為伊藤漂移擴散過程（Itō drift-diffusion process，下稱伊藤過程）：

令 f(X(t), t) 為 X(t) 的二階連續可導函數（並對 t 一階可導），由伊藤引理可知（省略自變數以簡化表達）：

將 dX = a(X(t),t)dt + b(X(t),t)dB 帶入上式，並且略去所有比 dt 更高階的小量，最終可以得到伊藤引理的一般形式：

由 f 的 SDE 可知，作為 X 和 t 的函數運鏈，f 本身也是一個伊藤過程。更重要的是，伊藤引理說明，df 表達式右側的布朗運動 dB 恰恰正是 dX 表達式中的那個布朗運動。換句話說，在 f 和 X 的隨機性由同一個布朗運動決定，而非兩個獨立的布朗運動。這一點在下文中推導 BS 微分方程時至關重要。

下面我們就利用伊藤引理求解幾何布朗運動。

3 幾何布朗運動求解
對於股票價格 S，可以用滿足如下 SDE 的幾何布朗運動來描述。

上式中 μ 是股票的期望年收益率，σ 是股票年收益率的標准差。顯然，這是一個旁洞孫伊藤過程（a = μS，b = σS）。為了求解 S，令 f = lnS（S 的自然對數）並對 df 使用伊藤引理（註：為了保持符號和前篇的一致性，我們用 S 而非 X 代表股票價格的隨機過程）得到 lnS 的 SDE：

這個式子說明，lnS 是一個帶漂移的布朗運動，它的漂移率為 μ – 0.5σ^2，波動率為 σ。由布朗運動顫攜的性質可知，在任何時間 T，lnS 的變化符合正態分布：

如果一個隨機變數的對數滿足正態分布，我們說這個隨機變數本身滿足對數正態分布（lognormal distribution）。因此，當我們用幾何布朗運動來描述股價波動時，得到的股價滿足對數正態分布。

通過對 lnS 的 SDE 兩邊積分，再對等式兩邊取指數，便可很容易的寫出股價隨時間變化的解析式：

上式乍一看好像有悖於我們的直覺。我們已知股票的年收益率期望為 μ。但在上式中，拋開 B(T) 帶來的隨機性不談而僅看時間 T 的系數，股價的增長速率是 μ – 0.5σ^2 而不是 μ。這意味著什麼呢？數值 μ – 0.5σ^2 又是否是什麼別的收益率呢？

正確答案是，μ – 0.5σ^2 恰恰是股票每年的連續復利期望收益率。利用股價 S 的對數正態特性可以說明這一點。假設 x 代表股票每年的連續復利收益率。因此有 S(T) = S(0)e^(xT)，或 x = (1/T)×(lnS(T) - lnS(0))。由上面的分析可知，lnS(T) – lnS(0) 符合均值為 (μ – 0.5σ^2)T、方差為 (σ^2)T 的正態分布。因此每年的連續復利收益率 x 也是正態分布並且滿足：

直觀比較股票的每年期望收益率 μ 和每年連續復利期望收益率 μ – 0.5σ^2，後者考慮了波動 σ，它們的區別就是年收益率序列算數平均值和幾何平均值的區別。

來看一個例子。假設某股票在過去五年的年收益率分別為 15%，20%，30%，-20% 和 25%。這個序列的算數平均值為 14%，因此該股票的每年的（樣本）期望收益率 μ = 14%。再來看看它每年連續復利期望收益率是多少。假設我們在五年前花 100 塊買入它並持有 5 年，那麼在 5 年後我們的回報是 100×1.15×1.20×1.30×0.80×1.25 = 179.4。因此每年（樣本）連續復利期望收益率（即這個收益率序列的幾何平均值）為 12.4%，顯然它低於算數平均值

5. 幾何布朗運動和分數布朗運動有什麼區別

幾何布朗運動 (GBM) (也叫做指數布朗運動) 是連續時間情況下的隨機過程,其中隨機變數的對數遵循布朗運動,[1] also called aWiener process.幾何布朗運動在金融數學中有所應用,用來在布萊克-舒爾斯定價模型中模仿股票價格.
分數布朗運動
世界是非線性的,宇宙萬物絕大部分不是有序的、線性的、穩定的,而是混沌的、非線性的、非穩定和漲落不定的沸騰世界.有序的、線性的、穩定的只存在於我們自己構造的理論宮殿,而現實宇宙充滿了分形.在股票市場的價格波動、心率及腦波的波動、電子元器件中的雜訊、自然地貌等大量的自然現象和社會現象中存在著一類近乎全隨機的現象,它們具有如下特性：在時域或空域上有自相似性和長時相關性和繼承性；在頻域上,其功率譜密度在一定頻率范圍內基本符合1/f的多項式衰減規律.因此被稱為1/f族隨機過程.Benoit Mandelbrot和Van Ness 提出的分數布朗運動(fractional Brownian motion,FBM)模型是使用最廣泛的一種,它具有自相似性、非平穩性兩個重要性質,是許多自然現象和社會現象的內在特性.分數布朗運動被賦予不同的名稱,如分形布朗運動、有偏的隨機遊走(Biased Random walk)、分形時間序列(Fractional time serial)、分形維納過程等.

6. 幾何布朗運動和分數布朗運動有什麼區別

幾何布朗運動數值的隨機改變，但改變方向的概率大小不同。
分數布朗運動是指實物粒子的不規則運動。
綜上，幾何布朗運動是布朗運動向其他領域的拓展，而分數布朗運動與布朗運動相近

7. 研究衍生品的時候為什麼用幾何布朗運動來模擬股票價格的運行軌跡

其實很簡單，GBM（至少在一定程度上）符合人們對市場的觀察。例如，直觀的說，股票的價格看起來很像隨機遊走，再例如，股票價格不會為負，這樣起碼GBM比普通的布朗運動合適，因為後者是可以為負的。

再稍微復雜一點，對收益率做測試（ S(t)/S(t-1) - 1）做測試，發現，哎居然還基本是個正態分布。收益率是正態的，股價就是GBM模型

總之，就是大家做了很多統計測試，發現假設成GBM還能很好的逼近真實數值，比較接近事實。所以就用這個。

其實將精確的數學模型應用到金融的時間非常短。最早是1952年的Markowitz portfolio selection. 那個其實就是一個簡單的優化問題。後來的CAPM APT等諸多模型，也僅僅研究的是一系列證券，他們之間回報、收益率以及其他影響因素關系，沒有涉及到對股價運動的描述。

第一次提出將股價是GBM應用在嚴格模型的是black-scholes model 。在這個模型中提出了若干個假設，其中一個就是股價是GBM的。

8. 為什麼用幾何布朗運動描述股票價格

幾何布朗運動就是物理中典型的隨機運動，其特點就是不可預測，而在股市中的短期股票價格也是不可預測。