為什麼股票價格服從對數正態分布

① 如何理解 Black-Scholes 期權定價模型

B-S-M模型假設

1、股票價格隨機波動並服從對數正態分布；

2、在期權有效期內，無風險利率和股票資產期望收益變數和價格波動率是恆定的；

3、市場無摩擦，即不存在稅收和交易成本；

4、股票資產在期權有效期內不支付紅利及其它所得(該假設可以被放棄)；

5、該期權是歐式期權，即在期權到期前不可實施；

6、金融市場不存在無風險套利機會；

7、金融資產的交易可以是連續進行的；

8、可以運用全部的金融資產所得進行賣空操作。

B-S-M定價公式

C=S·N(d1)-X·exp(-r·T)·N(d2)

其中:

d1=[ln(S/X)+(r+0.5σ^2)T]/(σ√T)

d2=d1-σ·√T

C—期權初始合理價格

X—期權執行價格

S—所交易金融資產現價

T—期權有效期

r—連續復利計無風險利率

σ—股票連續復利（對數）回報率的年度波動率（標准差）

N(d1)，N(d2）—正態分布變數的累積概率分布函數，在此應當說明兩點：

第一，該模型中無風險利率必須是連續復利形式。一個簡單的或不連續的無風險利率(設為r0)一般是一年計息一次，而r要求為連續復利利率。r0必須轉化為r方能代入上式計算。兩者換算關系為：r=LN(1+r0)或r0=exp(r)-1例如r0=0.06，則r=LN(1+0.06)=0.0583，即100以5.83%的連續復利投資第二年將獲106，該結果與直接用r0=0.06計算的答案一致。

第二，期權有效期T的相對數表示，即期權有效天數與一年365天的比值。如果期權有效期為100天，則T=100/365=0.274。

② 期權定價模型只能針對期權嗎

期權定價模型是由布萊克和斯科爾斯提出。該模型認為只有股票價格的現值與未來預測相關。

它是通過一個合適的數學模型，分析模擬期權價格的市場變化，最終得出一個合理的理論價格。變數的過去歷史和演變與未來預測無關。期權價格的決定非常復雜，影響因素包括股票現價，合約期限、無風險資產、利率水平、交割價格等多個方面。

期權定價模型公式.jpg

B-S模型有七個重要的假設

1.股票價格行為服從對數正態分布模式；

2.無風險利率和金融資產收益變數是不變的；

3.市場沒有摩擦，即沒有稅收和交易成本，整個證券是完全可分的；

4.金融資產在期權有效期內沒有分紅和其他收益(放棄這個假設)；

5.期權是歐式期權，即期權到期前不能執行。

6.沒有無風險套利機會；

7.證券交易是連續的；

8.投資者可以無風險利率借款。

看漲期權價格曲線.jpg

二項式模型的假設主要包括：

1.不支付股票紅利。

2.交易成本和稅收為零。

3.投資者可以無風險利率向資金借貸。

4.市場無風險利率不變。

5.股票的波動性是恆定的。

如果在t時刻資產價格為S，那麼在t+△t時刻可能上升到uS或者下降到dS，假設相應的資產價格上升到uS，那麼期權價格也上升到Cu，如果相應的資產價格下降到dS，那麼期權價格也下降到Cd。當金融資產只能達到這兩個價格時，這個序列稱為二項式程序。

期權定價模型的發展歷程：

期權是買方支付一定期權費後，在未來允許的時間內買入或賣出一定數量標的資產的期權。期權價格是期權合同中唯一隨著市場供求變化而變化的變數。其水平直接影響買賣雙方的盈虧情況，是期權交易的核心問題。在1900年發布第一篇關於期權定價的文章。此後，各種經驗公式或計量經濟學定價模型相繼出現，但由於各種局限性，難以得到普遍認可。20世紀70年代以來，隨著期權市場的迅速發展，期權定價理論的研究取得了突破性進展。

在國際衍生金融市場的形成和發展過程中，期權的合理定價是困擾投資者的一大難題。隨著計算機和先進通信技術的應用，應用復雜的期權定價公式成為可能。在過去的20年裡，投資者利用布萊克—— 斯克爾斯期權定價模型，將這個抽象的數值公式轉化為大量的財富。

看跌期權.jpg

第一個完整的期權定價模型是由費舍爾布萊克和邁倫斯克爾斯創建的，並於1973年公開。B-S期權定價模型的發布時間幾乎與芝加哥期權交易所標准化期權合約的正式上市時間同時。不久，德克薩斯儀器公司推出了一款帶有程序的計算器，可以根據這個模型計算期權價值。大多數從事期權交易的經紀人持有各種公司生產的這種計算機，並使用根據這種模型開發的程序來評估交易。這項工作極大地推動了金融創新和各種新型金融產品的出現。

斯克爾斯和他的同事，已故數學家費希爾布萊克，在20世紀70年代早期合作，研究出了一個復雜的期權定價公式。因此，這兩篇論文幾乎同時發表在不同的期刊上。因此，布萊克-斯克爾斯定價模型也可以稱為布萊克-斯克爾斯-默頓定價模型。默頓擴展了原始模型的內涵，並將其應用於許多其他形式的金融交易。瑞士的瑞典皇家科學院稱贊他們在期權定價方面的研究成果是未來25年對經濟科學最傑出的貢獻。

1979年，科克斯羅斯和盧賓斯坦的論文《期權定價：一種簡化方法》提出了二項式模型，為期權定價數值方法奠定了基礎，解決了美期權定價問題。

以上就是期權定價模型的相關內容，期權交易最重要的就是期權定價，因此大家必須要掌握才行，另外想了解更多期權相關內容也可以關注期權策略是什麼

③ 股票收益率為什麼要用對數收益率，請問各

在命令窗口中輸入 genr dr=log(r) 其中，log()為自然對數,r為指數收益率，dr為對數轉換後的新變數

④ 怎樣計算股票對數收益率

對數收益率是兩個時期資產價值取對數後的差額，即資產多個時期的對數收益率等於其各時期對數收益率之和。

我們研究股票市場價格時，通常認為股票價格模型服從布朗運動，即對數收益率是正態分布的。通閉租過對人民幣對美元的日對數收益率的統計檢驗發野猛現，人民幣外匯市場符合非線性的分形分布。然而對實際市場數據的經驗統計結果表明，多數股票的對數收益率並不服從正態分布轎脊兆。

所以雖然收盤價的分析常常是基於股票收益率的，但是股票收益率又可以分為簡單收益率和對數收益率。

簡單收益率：是指相鄰兩個價格之間的變化率。

對數收益率：是指所有價格取對數後兩兩之間的差值。

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股票的收益率計算公式

股票收益是指收益占投資的比例，一般以百分比表示。其計算公式為：

收益率＝（股息+賣出價格－買進價格）/買進價格*100/

比如一位獲得收入收益的投資者，花8000元買進1000股某公司股票，一年中分得股息800元（每股0.8元），則：

收益率＝（800+0－0）/8000*100/＝10/

又如一位獲得資本得利的投資者，一年中經過多過進，賣出，買進共30000元，賣出共45000元，則：

收益率＝（0+45000-30000）/30000*100/＝50/

如某位投資者系收入收益與資本得利兼得者，他花6000元買進某公司股票1000股，一年內分得股息400元（每股0.4元），一年後以每股8.5元賣出，共賣得8500元，則：收益率＝（400+8500－6000）/6000*100/＝48/

任何一項投資，投資者最為關心的就是收益率，收益率越高獲利越多，收益率越低獲利越少。投資者正是通過收益率的對比，來選擇最有利的投資方式的。

1、不貼現法:

收益率=(持收期間股息紅利收入+證券賣出價-證券買入價)/證券買入價 。

2、貼現法:

收益率=(持收期間股息紅利收入+證券賣出價-證券買入價)*以必要報酬率計算的復利現值系數)/證券買入價 。

以上方法均考慮為一次分紅。

⑤ 期權波動率的分類與特徵

隨著商品期權的上市，波動率逐漸成為市場關注的熱點之一，它是指資產在某一時間段內收益率的年化標准差。作為一個統計概念，波動率刻畫了資產價格的波動程度，是對資產收益率不確定性的衡量，用於反映資產的風險水平。波動率越高，資產價格的波動越劇烈，資產收益率的不確定性就越強；波動率越低，資產價格的波動越平緩，資產收益率的確定性就越強。

波動率通常分為四種，每一種波動率對應了不同的計算方法與作用。

歷史波動率

歷史波動率是指資產在過去一段時間內所表現出的波動率，它是通過統計方法，利用資產歷史價格數據計算而得，也可以稱其為已實現波動率，是確定性的。歷史波動率非常重要，它的大小不僅體現了金融資產在統計期內的波動狀況，更是分析和預測其他幾類波動率的基礎。其計算方法可總結如下：

1.從市場上獲得資產在固定時間間隔（如每天、每周或每月等）上的價格。

2.對於每個時間段，求出該時間段末與該時間段初的資產價格之比的自然對數。
隱含波動率
隱含波動率是從期權價格中引申出來的概念。由期權定價理論可知，有五個因素影響期權價格：標的資產價格、到期時間、波動率、無風險利率和執行價格。其中，波動率是唯一一個不可觀測的量，而期權價格也是可以觀測的，那麼將期權實際價格帶入期權定價公式中，便可以反推出一個波動率數值，這就是隱含波動率。它是由期權市場價格決定的波動率，是市場價格的真實映射，而有效市場價格是供求關系平衡下的產物，是買賣雙方博弈後的結果，因此隱含波動率反映的是市場對標的資產未來波動率的預期。

未來實際波動率

未來實際波動率，是指對金融資產未來一段時間內收益率波動程度的度量，由於收益率是一個隨機過程，實際波動率永遠是一個未知數。或者說，實際波動率是無法事先精確計算的，人們只能通過各種辦法得到它的估計值。
預期波動率，是指運用統計推斷方法對未來實際波動率進行預測得到的結果，通常被用於期權定價，因此，預期波動率是人們對期權進行理論定價時實際使用的波動率。值得注意的是，預期波動率並不等於歷史波動率，因為金融資產未來波動狀況可能和歷史波動狀況大相徑庭，但歷史波動率會是預期波動率的很好近似，除此之外，對預期波動率的估計還可能來自經驗判斷等其他方面。

⑥ 對數正態分布的基本概念

在概率論與統計學中，對數正態分布是對數為正態分布的任意隨機變數的概率分布。如果 X 是服從正態分布的隨機變數，則 exp(X) 服從對數正態分布；同樣，如果 Y 服從對數正態分布，則 ln(Y) 服從正態分布。 如果一個變數可以看作是許多很小獨立因子的乘積，則這個變數可以看作是對數正態分布。一個典型的例子是股票投資的長期收益率，它可以看作是每天收益率的乘積。
設ξ服從對數正態分布，其密度函數為：
數學期望和方差分別為：