1. 怎样求解布朗运动的期望和方差
怎样求解布朗运动的期望和方差
布朗运动(Brownian motion)是一种正态分布的独立增量连续随机过程。它是随机分析中基本概念之一。其基本性质为:布朗运动W(t)是期望为0方差为t(时间)的正态随机变量。对于任意的r小于等于s,W(t)-W(s)独立于的W(r),且是期望为0方差为t-s的正态随机变量。可以证明布朗运动是马尔可夫过程、鞅过程和伊藤过程。
2. 什么是ITO定理
伊藤过程
控制论
的发明人维纳在1923年指出,布朗运动在数学上是一个随机过程,提出了用“随机微分方程”来描述,因此人们也把布朗运动称为维纳过程;
日本
数学家伊藤发展建立了带有布朗运动干扰项的随机微分方程,
dx(t)=μ(t,x)dt+σ(t,x)dB
σ(t,x)是干扰强度,μ(t,x)是漂移率
该方程描写的过程是伊藤过程。伊藤过程可看成为一般化的维纳过程,它直接把布朗运动理解为随机干扰,从而赋予了布朗运动最一般的意义。
布朗运动是随机涨落的典型现象, 一般地说,许许多多的宏观观测,都要受到布朗运动的限制. 法国经济学家Bachelier L把股价的变动理想化为布朗运动,在此基础上,经济学家把伊藤过程方程用于描写股票价格)(!)行为过程的一种模式,为更确切地描写股票价格的行为过程,伊藤过程方程被修正为
dS(t)/S(t)=μdt+σdB
其中σ为股票价格波动率、 μ为股票价格的预期收益率,人们把它称为股价方程,它是一个随机微分方程.由伊藤过程描述的股价方程是一个正向的随机微分方程,从确定的S(0)=S0出发,根据布朗运动
的随机变量B(t)在0-t之间的形态,来推断轨线的统计行为.
3. ssc在数学中公式
本系列的前篇从布朗运动出发,介绍了布朗运动的性质并解释了为什么使用几何布朗运动来描述股价是被投资界广泛接受的。此外,前文给出了伊藤引理的最基本形式,它是随机分析的基础,为分析衍生品定价提供了坚实的武器。
作为本系列的后篇,本文将从扩展伊藤引理出发,并用它求解几何布朗运动,然后推导 BS 微分方程以及 BS 公式(也称 Black-Scholes-Merton 公式)。在介绍 BS 公式时,论述的重点会放在衍生品定价中的一个核心方法,即风险中性定价理论。此外,我们会花一定的笔墨来解释 BS 公式中的两个核心要素(即 N(d_1) 和 N(d_2) 的业务含义),明白它们对理解 BS 公式至关重要。
阅读提示:下文中将涉及大量数学公式,对阅读体验造成影响,我们表示歉意。我们当然不是在写学术论文,但是必要的数学推导对于理解期权定价模型至关重要。如果你对阅读大数学实在不感兴趣,可以跳过第二、三两节,从第四节开始看。
在那之前,先来点轻松的,看看 Black,Scholes 和 Merton 三位大咖长什么样子。Scholes 和 Merton 因在衍生品定价方面的杰出工作于 1997 年获得诺贝尔经济学奖。Black 没有在列的原因是他不幸地于 1995 年去世,而诺贝尔奖不追授给颁奖时已故 6 个月以上的学者。
2 伊藤引理的一般形式
在前篇中,我们介绍了带有漂移(drift)和扩散(diffusion)的布朗运动有如下形式的随机微分方程。在这里,μ 和 σ 被假定为常数。
更一般的,漂移和扩散的参数均可以是随机过程 X(t) 以及时间 t 的函数。假设我们令 a(X(t),t) 和 b(X(t),t) 表示漂移和扩散参数(则在上面这个例子中,a(X(t),t) = μ 而 b(X(t),t) = σ)。我们称满足如下随机微分方程(stochastic differential equation,或 SDE)的随机过程为伊藤漂移扩散过程(Itō drift-diffusion process,下称伊藤过程):
令 f(X(t), t) 为 X(t) 的二阶连续可导函数(并对 t 一阶可导),由伊藤引理可知(省略自变量以简化表达):
将 dX = a(X(t),t)dt + b(X(t),t)dB 带入上式,并且略去所有比 dt 更高阶的小量,最终可以得到伊藤引理的一般形式:
由 f 的 SDE 可知,作为 X 和 t 的函数运链,f 本身也是一个伊藤过程。更重要的是,伊藤引理说明,df 表达式右侧的布朗运动 dB 恰恰正是 dX 表达式中的那个布朗运动。换句话说,在 f 和 X 的随机性由同一个布朗运动决定,而非两个独立的布朗运动。这一点在下文中推导 BS 微分方程时至关重要。
下面我们就利用伊藤引理求解几何布朗运动。
3 几何布朗运动求解
对于股票价格 S,可以用满足如下 SDE 的几何布朗运动来描述。
上式中 μ 是股票的期望年收益率,σ 是股票年收益率的标准差。显然,这是一个旁洞孙伊藤过程(a = μS,b = σS)。为了求解 S,令 f = lnS(S 的自然对数)并对 df 使用伊藤引理(注:为了保持符号和前篇的一致性,我们用 S 而非 X 代表股票价格的随机过程)得到 lnS 的 SDE:
这个式子说明,lnS 是一个带漂移的布朗运动,它的漂移率为 μ – 0.5σ^2,波动率为 σ。由布朗运动颤携的性质可知,在任何时间 T,lnS 的变化符合正态分布:
如果一个随机变量的对数满足正态分布,我们说这个随机变量本身满足对数正态分布(lognormal distribution)。因此,当我们用几何布朗运动来描述股价波动时,得到的股价满足对数正态分布。
通过对 lnS 的 SDE 两边积分,再对等式两边取指数,便可很容易的写出股价随时间变化的解析式:
上式乍一看好像有悖于我们的直觉。我们已知股票的年收益率期望为 μ。但在上式中,抛开 B(T) 带来的随机性不谈而仅看时间 T 的系数,股价的增长速率是 μ – 0.5σ^2 而不是 μ。这意味着什么呢?数值 μ – 0.5σ^2 又是否是什么别的收益率呢?
正确答案是,μ – 0.5σ^2 恰恰是股票每年的连续复利期望收益率。利用股价 S 的对数正态特性可以说明这一点。假设 x 代表股票每年的连续复利收益率。因此有 S(T) = S(0)e^(xT),或 x = (1/T)×(lnS(T) - lnS(0))。由上面的分析可知,lnS(T) – lnS(0) 符合均值为 (μ – 0.5σ^2)T、方差为 (σ^2)T 的正态分布。因此每年的连续复利收益率 x 也是正态分布并且满足:
直观比较股票的每年期望收益率 μ 和每年连续复利期望收益率 μ – 0.5σ^2,后者考虑了波动 σ,它们的区别就是年收益率序列算数平均值和几何平均值的区别。
来看一个例子。假设某股票在过去五年的年收益率分别为 15%,20%,30%,-20% 和 25%。这个序列的算数平均值为 14%,因此该股票的每年的(样本)期望收益率 μ = 14%。再来看看它每年连续复利期望收益率是多少。假设我们在五年前花 100 块买入它并持有 5 年,那么在 5 年后我们的回报是 100×1.15×1.20×1.30×0.80×1.25 = 179.4。因此每年(样本)连续复利期望收益率(即这个收益率序列的几何平均值)为 12.4%,显然它低于算数平均值
4. 金融学里的伊藤引理解决了一个什么问题
指任一金融衍生物的价格是其标的物的价格和时间的函数.比如对于股票期权V,其标的股票价格为S,则V=F(S,T)
按照泰勒展开带如连续时间模型,才有了B-S模型.
5. 期权风险中性定价
很多小伙伴在学金融工程时,必然会遇到这样一个问题是 为什么在期权定价中可以使用风险中性定价 ?
但追根究底地说,
风险中性不是假设,而是推论。
风险中性不是假设,而是推论。
风险中性不是假设,而是推论。
而这篇文章,就带着你将这个推论一步一步地推导出来。
所谓的期权风险中性定价法,即在风险中性测度 下,推导得到期权的价值为 ,即
其中, 为 时刻的无风险利率, 为 时刻的 代数, 则为期权在 时刻到期时支付的现金流。(例如,对于常见的欧式看涨期权, )
特别的,在 的情况下
细心的同学可以发现, 是定义在 上的变量,而 则是一个常量。而这个常量的值,正是我们希望得到的期权在 时刻的价值。
所以我们的问题就进一步转化为了对上述公式的证明。
如果不用数学公式来回答的话,那么答案可以概述为:
现在我们开始一步步展开,并配合数学公式来解释回答这个问题。
假设目前有两个资产,分别是 股票 和 现金账户 ,
其中 是现实测度 下的标准布朗运动
如果变换测度到 下,则上述公式转化为
其中 是风险中性测度 下的标准布朗运动。
看到这里你可能会有疑惑,怎么突然就用到了测度转换了。别着急,这在文章后半部分 “为什么要用风险中性” 中就会给出解释。
所谓的风险中性测度,只是众多可变换的测度中的一种,例如,我们亦可以将测度转化为远期测度(Forward measure)进行定价,当然这是后话。
而提到测度,就不得不提及计价单位(Numeraire)这个概念,引用吴立新教授《Interest Rate Modeling Theory and Practice》一书的原话来说,即
把它翻译到我们这个案例里:
理解了何为风险中性测度后(what),剩下的问题就是 why 和 how
直接的回答就是前文提及到的风险中性定价法在金融上的解释:
该组合需要具备有两个非常重要的性质
而利用风险中性测度,就能找到这样的一个资产组合。
假设我们已经利用了风险中性测度完成了对股票价格运动过程的转换,即
那么股票以无风险资产(现金账户)作为计价单位的价格运动可以记为
根据伊藤公式可以展开为
因为 是风险中性测度 下的标准布朗运动,故而 在测度 下是一个鞅,记为 。而 是 才能引出后文的 Martingale Representation Theorem .
因为 是定义在 上的变量,同样的, 和 也是。
故而,我们可以定义一个新的变量 ,
可以视为 投影到 空间上的变量,且很容易地可以看出 也是一个 ,证明如下:
根据 Martingale Representation Theorem ,因为 和 都是定义在同一测度空间上的变量,故而必然存在这么一个 ,使得
于是我们得以确定了这个 ,而这也是整个定理逻辑的核心。因为我们可以根据这个 开始构建我们的投资组合:
其中 ,故而这个组合的折现价值为
进一步观察可以发现
由以上公式可以得到这个组合拥有我们要找的两个特质
当一个资产组合具备这两个特质的时候,我们便可以推出,该资产组合和期权拥有一样的价值,否则就回存在套利机会。
这就引出了最重要的结论:
是的,重复一遍
将 展开成指数形式,可以得到我们的最终结论
至此,推导结束,情理之中、意料之外地得到了风险中性定价公式。 :)
这部分知识在大部分随机过程的书本上都有提及,维基网络 Girsanov theorem 也有较为详细的说明,所以此处就不赘述了。
特别地,在学习测度转换的过程中,给我启发最大的是这样一个方程
启发在于,测度的转化,类似于将其每个事件元素的概率进行了一定的调整。
所以,如果说 是一个 ,那么 就是 。
而找到了这个 ,就等于找到了测度转换的答案。
至此,整个证明过程结束了。不知小伙伴有没有消化了呢,欢迎Email或留言交流。
Ps. 近期我会开始更新这个博客,求关注哦 :P
6. 求经济B-S期权定价模型的原理还有计算方法
假定股票价格服从几何布朗运动,即dSt/St=μdt+σdWt. St为t时点股票价格,μ为漂移量,σ为波动率,Wt为标准布朗运动。使用伊藤公式。然后用无套利原理求得BSPDE。