几何布朗运动描述股票价格

1. 证券价格服从漂移参数0.05，波动参数0.3的几何布朗运动，当前价格为95，利率是4% 假设有种

后答案上默认为这个概率等于P［ln(S(0.5)／

2. 几何布朗运动的介绍

几何布朗运动(GBM) (也叫做指数布朗运动) 是连续时间情况下的随机过程，其中随机变量的对数遵循布朗运动. 1几何布朗运动在金融数学中有所应用，用来在布莱克-舒尔斯定价模型中模仿股票价格。

3. 布朗运动的金融数学

将布朗运动与股票价格行为联系在一起，进而建立起维纳过程的数学模型是本世纪的一项具有重要意义的金融创新，在现代金融数学中占有重要地位。迄今，普遍的观点仍认为，股票市场是随机波动的，随机波动是股票市场最根本的特性，是股票市场的常态。
布朗运动假设是现代资本市场理论的核心假设。现代资本市场理论认为证券期货价格具有随机性特征。这里的所谓随机性，是指数据的无记忆性，即过去数据不构成对未来数据的预测基础。同时不会出现惊人相似的反复。随机现象的数学定义是：在个别试验中其结果呈现出不确定性；在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象。描述股价行为模型之一的布朗运动之维纳过程是马尔科夫随机过程的一种特殊形式；而马尔科夫过程是一种特殊类型的随机过程。随机过程是建立在概率空间上的概率模型，被认为是概率论的动力学，即它的研究对象是随时间演变的随机现象。所以随机行为是一种具有统计规律性的行为。股价行为模型通常用著名的维纳过程来表达。假定股票价格遵循一般化的维纳过程是很具诱惑力的，也就是说，它具有不变的期望漂移率和方差率。维纳过程说明只有变量的当前值与未来的预测有关，变量过去的历史和变量从过去到现在的演变方式则与未来的预测不相关。股价的马尔科夫性质与弱型市场有效性(the weak form of market efficiency)相一致，也就是说，一种股票的现价已经包含了所有信息，当然包括了所有过去的价格记录。但是当人们开始采用分形理论研究金融市场时，发现它的运行并不遵循布朗运动，而是服从更为一般的几何布朗运动（geometric browmrian motion）。

4. ssc在数学中公式

本系列的前篇从布朗运动出发，介绍了布朗运动的性质并解释了为什么使用几何布朗运动来描述股价是被投资界广泛接受的。此外，前文给出了伊藤引理的最基本形式，它是随机分析的基础，为分析衍生品定价提供了坚实的武器。

作为本系列的后篇，本文将从扩展伊藤引理出发，并用它求解几何布朗运动，然后推导 BS 微分方程以及 BS 公式（也称 Black-Scholes-Merton 公式）。在介绍 BS 公式时，论述的重点会放在衍生品定价中的一个核心方法，即风险中性定价理论。此外，我们会花一定的笔墨来解释 BS 公式中的两个核心要素（即 N(d_1) 和 N(d_2) 的业务含义），明白它们对理解 BS 公式至关重要。

阅读提示：下文中将涉及大量数学公式，对阅读体验造成影响，我们表示歉意。我们当然不是在写学术论文，但是必要的数学推导对于理解期权定价模型至关重要。如果你对阅读大数学实在不感兴趣，可以跳过第二、三两节，从第四节开始看。

在那之前，先来点轻松的，看看 Black，Scholes 和 Merton 三位大咖长什么样子。Scholes 和 Merton 因在衍生品定价方面的杰出工作于 1997 年获得诺贝尔经济学奖。Black 没有在列的原因是他不幸地于 1995 年去世，而诺贝尔奖不追授给颁奖时已故 6 个月以上的学者。

2 伊藤引理的一般形式
在前篇中，我们介绍了带有漂移（drift）和扩散（diffusion）的布朗运动有如下形式的随机微分方程。在这里，μ 和 σ 被假定为常数。

更一般的，漂移和扩散的参数均可以是随机过程 X(t) 以及时间 t 的函数。假设我们令 a(X(t),t) 和 b(X(t),t) 表示漂移和扩散参数（则在上面这个例子中，a(X(t),t) = μ 而 b(X(t),t) = σ）。我们称满足如下随机微分方程（stochastic differential equation，或 SDE）的随机过程为伊藤漂移扩散过程（Itō drift-diffusion process，下称伊藤过程）：

令 f(X(t), t) 为 X(t) 的二阶连续可导函数（并对 t 一阶可导），由伊藤引理可知（省略自变量以简化表达）：

将 dX = a(X(t),t)dt + b(X(t),t)dB 带入上式，并且略去所有比 dt 更高阶的小量，最终可以得到伊藤引理的一般形式：

由 f 的 SDE 可知，作为 X 和 t 的函数运链，f 本身也是一个伊藤过程。更重要的是，伊藤引理说明，df 表达式右侧的布朗运动 dB 恰恰正是 dX 表达式中的那个布朗运动。换句话说，在 f 和 X 的随机性由同一个布朗运动决定，而非两个独立的布朗运动。这一点在下文中推导 BS 微分方程时至关重要。

下面我们就利用伊藤引理求解几何布朗运动。

3 几何布朗运动求解
对于股票价格 S，可以用满足如下 SDE 的几何布朗运动来描述。

上式中 μ 是股票的期望年收益率，σ 是股票年收益率的标准差。显然，这是一个旁洞孙伊藤过程（a = μS，b = σS）。为了求解 S，令 f = lnS（S 的自然对数）并对 df 使用伊藤引理（注：为了保持符号和前篇的一致性，我们用 S 而非 X 代表股票价格的随机过程）得到 lnS 的 SDE：

这个式子说明，lnS 是一个带漂移的布朗运动，它的漂移率为 μ – 0.5σ^2，波动率为 σ。由布朗运动颤携的性质可知，在任何时间 T，lnS 的变化符合正态分布：

如果一个随机变量的对数满足正态分布，我们说这个随机变量本身满足对数正态分布（lognormal distribution）。因此，当我们用几何布朗运动来描述股价波动时，得到的股价满足对数正态分布。

通过对 lnS 的 SDE 两边积分，再对等式两边取指数，便可很容易的写出股价随时间变化的解析式：

上式乍一看好像有悖于我们的直觉。我们已知股票的年收益率期望为 μ。但在上式中，抛开 B(T) 带来的随机性不谈而仅看时间 T 的系数，股价的增长速率是 μ – 0.5σ^2 而不是 μ。这意味着什么呢？数值 μ – 0.5σ^2 又是否是什么别的收益率呢？

正确答案是，μ – 0.5σ^2 恰恰是股票每年的连续复利期望收益率。利用股价 S 的对数正态特性可以说明这一点。假设 x 代表股票每年的连续复利收益率。因此有 S(T) = S(0)e^(xT)，或 x = (1/T)×(lnS(T) - lnS(0))。由上面的分析可知，lnS(T) – lnS(0) 符合均值为 (μ – 0.5σ^2)T、方差为 (σ^2)T 的正态分布。因此每年的连续复利收益率 x 也是正态分布并且满足：

直观比较股票的每年期望收益率 μ 和每年连续复利期望收益率 μ – 0.5σ^2，后者考虑了波动 σ，它们的区别就是年收益率序列算数平均值和几何平均值的区别。

来看一个例子。假设某股票在过去五年的年收益率分别为 15%，20%，30%，-20% 和 25%。这个序列的算数平均值为 14%，因此该股票的每年的（样本）期望收益率 μ = 14%。再来看看它每年连续复利期望收益率是多少。假设我们在五年前花 100 块买入它并持有 5 年，那么在 5 年后我们的回报是 100×1.15×1.20×1.30×0.80×1.25 = 179.4。因此每年（样本）连续复利期望收益率（即这个收益率序列的几何平均值）为 12.4%，显然它低于算数平均值

5. 几何布朗运动和分数布朗运动有什么区别

几何布朗运动 (GBM) (也叫做指数布朗运动) 是连续时间情况下的随机过程,其中随机变量的对数遵循布朗运动,[1] also called aWiener process.几何布朗运动在金融数学中有所应用,用来在布莱克-舒尔斯定价模型中模仿股票价格.
分数布朗运动
世界是非线性的,宇宙万物绝大部分不是有序的、线性的、稳定的,而是混沌的、非线性的、非稳定和涨落不定的沸腾世界.有序的、线性的、稳定的只存在于我们自己构造的理论宫殿,而现实宇宙充满了分形.在股票市场的价格波动、心率及脑波的波动、电子元器件中的噪声、自然地貌等大量的自然现象和社会现象中存在着一类近乎全随机的现象,它们具有如下特性：在时域或空域上有自相似性和长时相关性和继承性；在频域上,其功率谱密度在一定频率范围内基本符合1/f的多项式衰减规律.因此被称为1/f族随机过程.Benoit Mandelbrot和Van Ness 提出的分数布朗运动(fractional Brownian motion,FBM)模型是使用最广泛的一种,它具有自相似性、非平稳性两个重要性质,是许多自然现象和社会现象的内在特性.分数布朗运动被赋予不同的名称,如分形布朗运动、有偏的随机游走(Biased Random walk)、分形时间序列(Fractional time serial)、分形维纳过程等.

6. 几何布朗运动和分数布朗运动有什么区别

几何布朗运动数值的随机改变，但改变方向的概率大小不同。
分数布朗运动是指实物粒子的不规则运动。
综上，几何布朗运动是布朗运动向其他领域的拓展，而分数布朗运动与布朗运动相近

7. 研究衍生品的时候为什么用几何布朗运动来模拟股票价格的运行轨迹

其实很简单，GBM（至少在一定程度上）符合人们对市场的观察。例如，直观的说，股票的价格看起来很像随机游走，再例如，股票价格不会为负，这样起码GBM比普通的布朗运动合适，因为后者是可以为负的。

再稍微复杂一点，对收益率做测试（ S(t)/S(t-1) - 1）做测试，发现，哎居然还基本是个正态分布。收益率是正态的，股价就是GBM模型

总之，就是大家做了很多统计测试，发现假设成GBM还能很好的逼近真实数值，比较接近事实。所以就用这个。

其实将精确的数学模型应用到金融的时间非常短。最早是1952年的Markowitz portfolio selection. 那个其实就是一个简单的优化问题。后来的CAPM APT等诸多模型，也仅仅研究的是一系列证券，他们之间回报、收益率以及其他影响因素关系，没有涉及到对股价运动的描述。

第一次提出将股价是GBM应用在严格模型的是black-scholes model 。在这个模型中提出了若干个假设，其中一个就是股价是GBM的。

8. 为什么用几何布朗运动描述股票价格

几何布朗运动就是物理中典型的随机运动，其特点就是不可预测，而在股市中的短期股票价格也是不可预测。