为什么股票价格服从对数正态分布

① 如何理解 Black-Scholes 期权定价模型

B-S-M模型假设

1、股票价格随机波动并服从对数正态分布；

2、在期权有效期内，无风险利率和股票资产期望收益变量和价格波动率是恒定的；

3、市场无摩擦，即不存在税收和交易成本；

4、股票资产在期权有效期内不支付红利及其它所得(该假设可以被放弃)；

5、该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施；

6、金融市场不存在无风险套利机会；

7、金融资产的交易可以是连续进行的；

8、可以运用全部的金融资产所得进行卖空操作。

B-S-M定价公式

C=S·N(d1)-X·exp(-r·T)·N(d2)

其中:

d1=[ln(S/X)+(r+0.5σ^2)T]/(σ√T)

d2=d1-σ·√T

C—期权初始合理价格

X—期权执行价格

S—所交易金融资产现价

T—期权有效期

r—连续复利计无风险利率

σ—股票连续复利（对数）回报率的年度波动率（标准差）

N(d1)，N(d2）—正态分布变量的累积概率分布函数，在此应当说明两点：

第一，该模型中无风险利率必须是连续复利形式。一个简单的或不连续的无风险利率(设为r0)一般是一年计息一次，而r要求为连续复利利率。r0必须转化为r方能代入上式计算。两者换算关系为：r=LN(1+r0)或r0=exp(r)-1例如r0=0.06，则r=LN(1+0.06)=0.0583，即100以5.83%的连续复利投资第二年将获106，该结果与直接用r0=0.06计算的答案一致。

第二，期权有效期T的相对数表示，即期权有效天数与一年365天的比值。如果期权有效期为100天，则T=100/365=0.274。

② 期权定价模型只能针对期权吗

期权定价模型是由布莱克和斯科尔斯提出。该模型认为只有股票价格的现值与未来预测相关。

它是通过一个合适的数学模型，分析模拟期权价格的市场变化，最终得出一个合理的理论价格。变量的过去历史和演变与未来预测无关。期权价格的决定非常复杂，影响因素包括股票现价，合约期限、无风险资产、利率水平、交割价格等多个方面。

期权定价模型公式.jpg

B-S模型有七个重要的假设

1.股票价格行为服从对数正态分布模式；

2.无风险利率和金融资产收益变量是不变的；

3.市场没有摩擦，即没有税收和交易成本，整个证券是完全可分的；

4.金融资产在期权有效期内没有分红和其他收益(放弃这个假设)；

5.期权是欧式期权，即期权到期前不能执行。

6.没有无风险套利机会；

7.证券交易是连续的；

8.投资者可以无风险利率借款。

看涨期权价格曲线.jpg

二项式模型的假设主要包括：

1.不支付股票红利。

2.交易成本和税收为零。

3.投资者可以无风险利率向资金借贷。

4.市场无风险利率不变。

5.股票的波动性是恒定的。

如果在t时刻资产价格为S，那么在t+△t时刻可能上升到uS或者下降到dS，假设相应的资产价格上升到uS，那么期权价格也上升到Cu，如果相应的资产价格下降到dS，那么期权价格也下降到Cd。当金融资产只能达到这两个价格时，这个序列称为二项式程序。

期权定价模型的发展历程：

期权是买方支付一定期权费后，在未来允许的时间内买入或卖出一定数量标的资产的期权。期权价格是期权合同中唯一随着市场供求变化而变化的变量。其水平直接影响买卖双方的盈亏情况，是期权交易的核心问题。在1900年发布第一篇关于期权定价的文章。此后，各种经验公式或计量经济学定价模型相继出现，但由于各种局限性，难以得到普遍认可。20世纪70年代以来，随着期权市场的迅速发展，期权定价理论的研究取得了突破性进展。

在国际衍生金融市场的形成和发展过程中，期权的合理定价是困扰投资者的一大难题。随着计算机和先进通信技术的应用，应用复杂的期权定价公式成为可能。在过去的20年里，投资者利用布莱克—— 斯克尔斯期权定价模型，将这个抽象的数值公式转化为大量的财富。

看跌期权.jpg

第一个完整的期权定价模型是由费舍尔布莱克和迈伦斯克尔斯创建的，并于1973年公开。B-S期权定价模型的发布时间几乎与芝加哥期权交易所标准化期权合约的正式上市时间同时。不久，德克萨斯仪器公司推出了一款带有程序的计算器，可以根据这个模型计算期权价值。大多数从事期权交易的经纪人持有各种公司生产的这种计算机，并使用根据这种模型开发的程序来评估交易。这项工作极大地推动了金融创新和各种新型金融产品的出现。

斯克尔斯和他的同事，已故数学家费希尔布莱克，在20世纪70年代早期合作，研究出了一个复杂的期权定价公式。因此，这两篇论文几乎同时发表在不同的期刊上。因此，布莱克-斯克尔斯定价模型也可以称为布莱克-斯克尔斯-默顿定价模型。默顿扩展了原始模型的内涵，并将其应用于许多其他形式的金融交易。瑞士的瑞典皇家科学院称赞他们在期权定价方面的研究成果是未来25年对经济科学最杰出的贡献。

1979年，科克斯罗斯和卢宾斯坦的论文《期权定价：一种简化方法》提出了二项式模型，为期权定价数值方法奠定了基础，解决了美期权定价问题。

以上就是期权定价模型的相关内容，期权交易最重要的就是期权定价，因此大家必须要掌握才行，另外想了解更多期权相关内容也可以关注期权策略是什么

③ 股票收益率为什么要用对数收益率，请问各

在命令窗口中输入 genr dr=log(r) 其中，log()为自然对数,r为指数收益率，dr为对数转换后的新变量

④ 怎样计算股票对数收益率

对数收益率是两个时期资产价值取对数后的差额，即资产多个时期的对数收益率等于其各时期对数收益率之和。

我们研究股票市场价格时，通常认为股票价格模型服从布朗运动，即对数收益率是正态分布的。通闭租过对人民币对美元的日对数收益率的统计检验发野猛现，人民币外汇市场符合非线性的分形分布。然而对实际市场数据的经验统计结果表明，多数股票的对数收益率并不服从正态分布轿脊兆。

所以虽然收盘价的分析常常是基于股票收益率的，但是股票收益率又可以分为简单收益率和对数收益率。

简单收益率：是指相邻两个价格之间的变化率。

对数收益率：是指所有价格取对数后两两之间的差值。

(4)为什么股票价格服从对数正态分布扩展阅读：

股票的收益率计算公式

股票收益是指收益占投资的比例，一般以百分比表示。其计算公式为：

收益率＝（股息+卖出价格－买进价格）/买进价格*100/

比如一位获得收入收益的投资者，花8000元买进1000股某公司股票，一年中分得股息800元（每股0.8元），则：

收益率＝（800+0－0）/8000*100/＝10/

又如一位获得资本得利的投资者，一年中经过多过进，卖出，买进共30000元，卖出共45000元，则：

收益率＝（0+45000-30000）/30000*100/＝50/

如某位投资者系收入收益与资本得利兼得者，他花6000元买进某公司股票1000股，一年内分得股息400元（每股0.4元），一年后以每股8.5元卖出，共卖得8500元，则：收益率＝（400+8500－6000）/6000*100/＝48/

任何一项投资，投资者最为关心的就是收益率，收益率越高获利越多，收益率越低获利越少。投资者正是通过收益率的对比，来选择最有利的投资方式的。

1、不贴现法:

收益率=(持收期间股息红利收入+证券卖出价-证券买入价)/证券买入价 。

2、贴现法:

收益率=(持收期间股息红利收入+证券卖出价-证券买入价)*以必要报酬率计算的复利现值系数)/证券买入价 。

以上方法均考虑为一次分红。

⑤ 期权波动率的分类与特征

随着商品期权的上市，波动率逐渐成为市场关注的热点之一，它是指资产在某一时间段内收益率的年化标准差。作为一个统计概念，波动率刻画了资产价格的波动程度，是对资产收益率不确定性的衡量，用于反映资产的风险水平。波动率越高，资产价格的波动越剧烈，资产收益率的不确定性就越强；波动率越低，资产价格的波动越平缓，资产收益率的确定性就越强。

波动率通常分为四种，每一种波动率对应了不同的计算方法与作用。

历史波动率

历史波动率是指资产在过去一段时间内所表现出的波动率，它是通过统计方法，利用资产历史价格数据计算而得，也可以称其为已实现波动率，是确定性的。历史波动率非常重要，它的大小不仅体现了金融资产在统计期内的波动状况，更是分析和预测其他几类波动率的基础。其计算方法可总结如下：

1.从市场上获得资产在固定时间间隔（如每天、每周或每月等）上的价格。

2.对于每个时间段，求出该时间段末与该时间段初的资产价格之比的自然对数。
隐含波动率
隐含波动率是从期权价格中引申出来的概念。由期权定价理论可知，有五个因素影响期权价格：标的资产价格、到期时间、波动率、无风险利率和执行价格。其中，波动率是唯一一个不可观测的量，而期权价格也是可以观测的，那么将期权实际价格带入期权定价公式中，便可以反推出一个波动率数值，这就是隐含波动率。它是由期权市场价格决定的波动率，是市场价格的真实映射，而有效市场价格是供求关系平衡下的产物，是买卖双方博弈后的结果，因此隐含波动率反映的是市场对标的资产未来波动率的预期。

未来实际波动率

未来实际波动率，是指对金融资产未来一段时间内收益率波动程度的度量，由于收益率是一个随机过程，实际波动率永远是一个未知数。或者说，实际波动率是无法事先精确计算的，人们只能通过各种办法得到它的估计值。
预期波动率，是指运用统计推断方法对未来实际波动率进行预测得到的结果，通常被用于期权定价，因此，预期波动率是人们对期权进行理论定价时实际使用的波动率。值得注意的是，预期波动率并不等于历史波动率，因为金融资产未来波动状况可能和历史波动状况大相径庭，但历史波动率会是预期波动率的很好近似，除此之外，对预期波动率的估计还可能来自经验判断等其他方面。

⑥ 对数正态分布的基本概念

在概率论与统计学中，对数正态分布是对数为正态分布的任意随机变量的概率分布。如果 X 是服从正态分布的随机变量，则 exp(X) 服从对数正态分布；同样，如果 Y 服从对数正态分布，则 ln(Y) 服从正态分布。 如果一个变量可以看作是许多很小独立因子的乘积，则这个变量可以看作是对数正态分布。一个典型的例子是股票投资的长期收益率，它可以看作是每天收益率的乘积。
设ξ服从对数正态分布，其密度函数为：
数学期望和方差分别为：