㈠ 2020-03-28 线性时间序列模型
课程采用Ruey S. Tsay的《金融数据分析导论：基于R语言》(Tsay 2013 ) （An Introction to Analysis of Financial Data with R）作为主要教材之一。
时间序列的线性模型，包括：
股价序列呈现缓慢的、非单调的上升趋势， 局部又有短暂的波动。
可口可乐公司每季度发布的每股盈利数据。 读入：
时间序列图：
序列仍体现出缓慢的、非单调的上升趋势，又有明显的每年的周期变化（称为季节性）， 还有短期的波动。
下面用基本R的 plot() 作图并用不同颜色标出不同季节。
现在可以看出，每年一般冬季和春季最低， 夏季最高，秋季介于夏季和冬季之间。
收益率在0上下波动，除了个别时候基本在某个波动范围之内。
用xts包的 plot() 函数作图：
聚焦到2004年的数据：
红色是6月期国债利率， 黑色是3月期国债。 一般6月期高， 但是有些时期3月期超过了6月期，如1980年：
如图标普500月收益率那样的收益率数据基本呈现出在一个水平线（一般是0）上下波动， 且波动范围基本不变。 这样的表现是时间序列“弱平稳序列”的表现。
弱平稳需要一阶矩和二阶矩有限。某些分布是没有有限的二阶矩的，比如柯西分布， 这样的分布就不适用传统的线性时间序列理论。
稍后给出弱平稳的理论定义。
如图2可口可乐季度盈利这样的价格序列则呈现出水平的上下起伏， 如果分成几段平均的话， 各段的平均值差距较大。 这体现出非平稳的特性。
以下为一堆公式推导，具体查看： http://www.math.pku.e.cn/teachers/lidf/course/fts/ftsnotes/html/_ftsnotes/fts-tslin.html#fig:tslin-intro-sp02
时间序列
自协方差函数
弱平稳序列
图6 是IBM股票月度简单收益率对标普500收益率的散点图。 从图中看出， 两者有明显的正向相关关系。
对于不独立的样本， 比如时间序列样本， 也可以计算相关系数， 其估计合理性需要一些模型假设。
对于联合分布非正态的情况， 有时相关系数不能很好地反映X和Y的正向或者负向的相关。 斯皮尔曼（Spearman）相关系数是计算X的样本的秩（名次）与Y的样本的秩之间的相关系数， 也称为Spearman rank correlation。
另一种常用的非参数相关系数是肯德尔tau(Kendall’s )系数， 反映了一致数对和非一致数对之间的差别。
即两个观测的分量次序一致的概率减去分量次序相反的概率。 一致的概率越大，说明两个的正向相关性越强。
对IBM收益率与标普收益率数据计算这三种相关系数：
自相关函数 （Autocorrelation function, ACF）参见 (何书元 2003 ) P.131 §4.2的例2.1。 原始文献： MAURICE STEVENSON BARTLETT, On the Theoretical Specification and Sampling Properties of Auto-Correlated Time Series, Journal of the Royal Statistical Society (Supplement) 8 (1946), pp. 24-41.
在基本R软件中， acf(x) 可以估计时间序列 x 的自相关函数并对其前面若干项画图。
例：CRSP的第10分位组合的月对数收益率， 1967-1到2009-12。 第10分位组合是NYSE、AMEX、NASDAQ市值最小的10%股票组成的投资组合， 每年都重新调整。
图6: CRSP第10分位组合月对数收益率
用 acf() 作时间序列的自相关函数图：
acf() 的返回值是一个列表，其中 lag 相当于， acf 相当于。 用 plot=FALSE 取消默认的图形输出。
有研究者认为小市值股票倾向于在每年的一月份有正的收益率。
为此，用对的检验来验证。 如果一月份有取正值的倾向， 则相隔12个月的值会有正相关。
计算统计量的值，检验p值：
值小于0.05, 这个检验的结果支持一月份效应的存在性。
Ljung和Box(Ljung and Box 1978 )对Box和Pierce(Box and Pierce 1970 )提出了混成统计量(Portmanteau statistic)
检验方法进行了改进
在R软件中， Box.test(x, type="Ljung-Box") 执行Ljung-Box白噪声检验。 Box.test(x, type="Box-Pierce") 执行Box-Pierce混成检验。 用 fitdf= 指定要减去的自由度个数。
检验IBM股票月收益率是否白噪声。
考虑IBM股票从1926-01到2011-09的月度收益率数据， 简单收益率和对数收益率分别考虑。
读入数据：
读入的是简单收益率的月度数据。 作ACF图：
从ACF来看月度简单收益率是白噪声。
作Ljung-Box白噪声检验， 分别取和：
在0.05水平下均不拒绝零假设， 支持IBM月度简单收益率是白噪声的零假设。
从简单收益率计算对数收益率， 并进行LB白噪声检验：
在0.05水平下不拒绝零假设。
Box-Pierce检验和Ljung-Box检验受到取值的影响， 建议采用， 且序列为季度、月度这样的周期序列时， 应取为周期的整数倍。
对CRSP最低10分位的资产组合的月简单收益率作白噪声检验。
此组合的收益率序列的ACF:
针对和作Ljung-Box白噪声检验：
在0.05水平下均拒绝零假设， 认为CRSP最低10分位的投资组合的月度简单收益率不是白噪声。
有效市场假设认为收益率是不可预测的， 也就不会有非零的自相关。 但是，股价的决定方式和指数收益率的计算方式等可能会导致在观测到的收益率序列中有自相关性。 高频金融数据中很常见自相关性。
常见的白噪声检验还有TREVOR S. BREUSCH (1978) 和LESLIE G. GODFREY (1978)提出的拉格朗日乘子法检验（LM检验）。 零假设为白噪声， 对立假设为AR、MA或者ARMA。 参见：
设是独立同分布的二阶矩有限的随机变量， 称为独立同分布白噪声(white noise)。 最常用的白噪声一般假设均值为零。 如果独立同分布， 称为高斯(Gaussian)白噪声或正态白噪声。
白噪声序列的自相关函数为零（除外）。
实际应用中如果样本自相关函数近似为零 （ACF图中都位于控制线之内或基本不超出控制线）， 则可认为该序列是白噪声的样本。
如：IBM月度收益率可以认为是白噪声（见例 3.3 ）； CRSP最低10分位投资组合月度收益率不是白噪声（见例 3.4 ）。
不是所有的弱平稳时间序列都有这样的性质。 非平稳序列更是不需要满足这些性质。
公式就不赘述
如果从时间序列的一条轨道就可以推断出它的所有有限维分布， 就称其为严平稳遍历的。 这里不给出遍历性的严格定义， 仅给出一些严平稳遍历的充分条件。 可以证明， 宽平稳的正态时间序列是严平稳遍历的， 由零均值独立同分布白噪声产生的线性序列是严平稳遍历的。
Tsay, Ruey S. 2013. 金融数据分析导论：基于R语言 . 机械工业出版社.
何书元. 2003. 应用时间序列分析 . 北京大学出版社.
Box, GEP, and D. Pierce. 1970. “Distribution of Resial Autocorelations in Autoregressive-Integrated Moving Average Time Series Models.” J. of American Stat. Assoc. 65: 1509–26.
Ljung, G., and GEP Box. 1978. “On a Measure of Lack of Fit in Time Series Models.” Biometrika 66: 67–72.
参考学习资料： http://www.math.pku.e.cn/teachers/lidf/course/fts/ftsnotes/html/_ftsnotes/fts-tslin.html#fig:tslin-intro-sp02
㈡ 如何深入理解时间序列分析中的平稳性
声明：本文中所有引用部分，如非特别说明，皆引自Time Series Analysis with Applications in R.
接触时间序列分析才半年，尽力回答。如果回答有误，欢迎指出。
对第一个问题，我们把它拆分成以下两个问题：
Why stationary?（为何要平稳？）
Why weak stationary?（为何弱平稳？）
Why stationary?（为何要平稳？）
每一个统计学问题，我们都需要对其先做一些基本假设。如在一元线性回归中（），我们要假设：①不相关且非随机（是固定值或当做已知）②独立同分布服从正态分布（均值为0，方差恒定）。
在时间序列分析中，我们考虑了很多合理且可以简化问题的假设。而其中最重要的假设就是平稳。
The basic idea of stationarity is that the probability laws that govern the behavior of the process do not change over time.
平稳的基本思想是：时间序列的行为并不随时间改变。
正因此，我们定义了两种平稳：
Strict stationarity: A time series {} is said to be strictly stationary if the joint distribution of ,, · · ·, is the same as that of,, · · · ,for all choices of natural number n, all choices of time points ,, · · · , and all choices of time lag k.
强平稳过程：对于所有可能的n，所有可能的,, · · · , 和所有可能的k，当,, · · ·,的联合分布与,, · · · ,相同时，我们称其强平稳。
Weak stationarity: A time series {} is said to be weakly (second-order, or co-variance) stationary if:
① the mean function is constant over time, and
② γ(t, t − k) = γ(0, k) for all times t and lags k.
弱平稳过程：当①均值函数是常数函数且②协方差函数仅与时间差相关，我们才称其为弱平稳。
此时我们转到第二个问题：Why weak stationary?（为何弱平稳？）
我们先来说说两种平稳的差别：
两种平稳过程并没有包含关系，即弱平稳不一定是强平稳，强平稳也不一定是弱平稳。
一方面，虽然看上去强平稳的要求好像比弱平稳强，但强平稳并不一定是弱平稳，因为其矩不一定存在。
例子：{}独立服从柯西分布。{}是强平稳，但由于柯西分布期望与方差不存在，所以不是弱平稳。（之所以不存在是因为其并非绝对可积。）
另一方面，弱平稳也不一定是强平稳，因为二阶矩性质并不能确定分布的性质。
例子：,,互相独立。这是弱平稳却不是强平稳。
知道了这些造成差别的根本原因后，我们也可以写出两者的一些联系：
一阶矩和二阶矩存在时，强平稳过程是弱平稳过程。（条件可简化为二阶矩存在，因为）
当联合分布服从多元正态分布时，两平稳过程等价。（多元正态分布的二阶矩可确定分布性质）
而为什么用弱平稳而非强平稳，主要原因是：强平稳条件太强，无论是从理论上还是实际上。
理论上，证明一个时间序列是强平稳的一般很难。正如定义所说，我们要比较，对于所有可能的n，所有可能的,, · · · , 和所有可能的k，当,, · · ·,的联合分布与,, · · · ,相同。当分布很复杂的时候，不仅很难比较所有可能性，也可能很难写出其联合分布函数。
实际上，对于数据，我们也只能估算出它们均值和二阶矩，我们没法知道它们的分布。所以我们在以后的模型构建和预测上都是在用ACF，这些性质都和弱项和性质有关。而且，教我时间序列教授说过："General linear process(weak stationarity, linearity, causality) covers about 10% of the real data." ，如果考虑的是强平稳，我觉得可能连5%都没有了。
对第二个问题：
教授有天在审本科毕业论文，看到一个写金融的，用平稳时间序列去估计股票走势（真不知这老兄怎么想的）。当时教授就说：“金融领域很多东西之所以难以估计，就是因为其经常突变，根本就不是平稳的。”
果不其然，论文最后实践阶段，对于股票选择的正确率在40%。连期望50%都不到（任意一点以后要么涨要么跌）。
暑假里自己用了一些时间序列的方法企图开发程序性交易程序。
刚开始收益率还好，越往后就越...后面直接亏损了...（软件是金字塔，第二列是利润率）
亏损的图当时没截，现在也没法补了，程序都删了。
所以应该和平稳没关系吧，毕竟我的做法也没假设是平稳的。如果平稳我就不会之后不盈利了。
（吐槽）自己果然不适合做股票、期货什么的...太高端理解不能...
以上