股票价格服从马尔科夫过程

㈠ 01 隐马尔可夫模型 - 马尔可夫链、HMM参数和性质

先直白得讲性质： 当前的状态只和上一时刻有关，在上一时刻之前的任何状态都和我无关。我们称其 符合 马尔可夫性质。

下面是理论化的阐述：
设{X(t), t ∈ T}是一个 随机过程 ，E为其状态空间，若对于任意的t1<t2< ...<tn<t，任意的x1,x2,...,xn,x∈E，随机变量X(t)在已知变量X(t1)=x1,...,X(tn)=xn之下的条件分布函数只与X(tn)=xn有关，而与X(t1)=x1,...,X(tn-1)=xn-1无关，即条件分布函数 满足 下列等式，此性质称为 马尔可夫性 ；如果随机过程 满足 马尔可夫性，则该过程称为马尔可夫过程。

马尔可夫链 是指具有马尔可夫性质的随机过程。在过程中，在给定当前信息的情况下，过去的信息状态对于预测将来 状态 是无关的。

例子： 在今天这个时间点而言，过去的股价走势对我预测未来的股价是毫无帮助的。
PS：上面马尔可夫链中提到的 状态 ，在本例指的是 股价 。

在马尔可夫链的每一步，系统根据 概率分布 ，可以从一个状态变成另外一个状态，也可以保持当前状态不变。状态的改变叫做 转移 ，状态改变的相关概率叫做 转移概率 。

例子： 当前时间状态下的股价，可以转变成下一时刻的股价，股价的转变即 状态的改变 。这个状态现在可以上升(股价提高)，状态也可以下降。我可以根据当前股票的价格去决定下一刻股价上升、下降、不变的概率。这种股价变动的概率称为 状态转移概率 。

马尔可夫链中的 三元素是 ：状态空间S、转移概率矩阵P、初始概率分布π。

1、状态空间S - 例： S是一个集合，包含所有的状态 S 股价 ={高，中，低} ；

2、初始概率分布π - 例：
股价刚发行的时候有一个初始价格，我们认为初始价格为高的概率为50%，初始价格为中的概率是30%，初始价格为低的概率是20%。我们记股票价格的初始概率分布为：π=(0.5，0.3，0.2)；对应状态：(高、中、低)； 初始概率分布是一个向量 ，如果有n个状态，π是n维向量。

3、转移概率矩阵P - 例：
现在有个股价为中，下一个时刻状态转变的可能性有三种，中→高、中→低、中→中；将三种转变的概率。此外当前时刻也有股票的价格属于低，对应的转变可能包括低→高、低→低、低→中；即每种状态都有可能转变成其他的状态，若一共有n个状态，形成的 转移概率矩阵 应该是n×n阶矩阵。这里需要注意的是，股价从高→低，和低→高的概率是不同的。

设将天气状态分为晴、阴、雨三种状态，假定某天的天气状态只和上一天的天气状态有关，状态使用1(晴)、2(阴)、3(雨)表示，转移概率矩阵P如下：

第n+1天天气状态为j的概率为：

因此，矩阵P即为条件概率转移矩阵。矩阵P的第i行元素表示，在上一个状态为i的时候的分布概率，即每行元素的和必须为1。

隐马尔可夫模型(Hidden Markov Model, HMM)是一种统计模型，在语音识别、行为识别、NLP、故障诊断等领域具有高效的性能。

HMM是关于时序的概率模型，描述一个含有未知参数的马尔可夫链所生成的不可观测的状态随机序列，再由各个状态生成观测随机序列的过程。

HMM是一个双重随机过程---具有一定状态的隐马尔可夫链和随机的观测序列。

HMM随机生成的状态随机序列被称为状态序列；每个状态生成一个观测，由此产生的观测随机序列，被称为观测序列。

思考： z1,z2...,zn是 不可观测的状态，x1,x2,...xn是 可观测到的序列 ；不可观测的状态觉得可观测序列的值(z的取值决定x的取值)；

1、在 z1、z2 不可观测 的情况下，x1和z2独立吗？x1和x2独立吗？

回答： 这个问题可以回顾之前的 贝叶斯网络 来理解。
首先z1，z2都是离散的值，但x1的值可能是离散的也可能是连续的。比如z是天气情况，每天天气的改变是离散的。x是因为天气而改变的一些其他状态，比如x=(地面是否潮湿、路上行人数量、雨伞销售数量...)；
在z1和z2不可观测的情况下，x1和z2不独立，x1和x2也是不独立的。

2、 在 z1、z2可观测 的情况下，x1和z2独立吗？x1和x2独立吗？

回答： 在z1和z2可观测的情况下，因为x1和z2的取值只和z1有关，所以就独立了。同样在给定了z1和z2的情况下，x1和x2也独立。

请回顾贝叶斯网络中的独立性问题来思考这个问题。
04 贝叶斯算法 - 贝叶斯网络

回顾：
一般而言，贝叶斯网络的有向无环图中的节点表示随机变量，可以是可观察到的变量，或隐变量，未知参数等等。连接两个节点之间的箭头代表两个随机变量之间的因果关系(也就是这两个随机变量之间非条件独立)；如果两个节点间以一个单箭头连接在一起，表示其中一个节点是“因”，另外一个节点是“果”，从而两节点之间就会产生一个条件概率值。

PS：每个节点在给定其直接前驱的时候，条件独立于其非后继。

HMM 由隐含状态S、可观测状态O、初始状态概率矩阵π、隐含状态转移概率矩阵A、可观测值转移矩阵B(又称为混淆矩阵，Confusion Matrix)；

π和A决定了状态序列，B决定观测序列，因此HMM可以使用三元符号表示，称为HMM的三元素：

S可以统计历史出现的所有状态；
初始概率分布π，统计S中各个状态各自出现的概率作为我们的初始概率分布π向量值；

S是所有可能的状态集合，O是所有可能的观测集合：

I是长度为T的状态序列，Q是对应的观测序列：

S={下雨，阴天，晴天}；O={地上干，地上湿}
I = {晴，雨，雨，阴，晴，阴}
Q={干，湿，湿，湿，干，干}

A是隐含状态转移概率矩阵:

其中aij是在时刻t处于状态si的条件下时刻t+1转移到状态sj的概率。
a 晴雨 = 某天是晴天条件下，下一天是雨天的概率。 （某一时刻→下一时刻）

B是可观测值转移概率矩阵:

其中bij是在时刻t处于状态si的条件下生成观测值oj的概率。
b 晴干 = 某天是晴天条件下，某天是地是干的的概率。 （同一时刻）

π是初始状态概率向量:

其中πi是在时刻t=1处于状态si的概率。
π 晴 = 初始第一天是晴天的概率；
π 雨 = 初始第一天是雨天的概率；

p(i t | .....) 表示在从 t-1时刻的观测值q t-1 ，一直到第1时刻观测值q1 的条件下，在第t时刻发生状态的概率。

性质1： 最终分析结果发现，在第t时刻发生状态的概率it只和t-1时刻有关。
性质2： 第t时刻的观测值qt只和第t时刻的状态it有关。

假设有三个盒子，编号为1,2,3；每个盒子都装有黑白两种颜色的小球，球的比例。如下：

按照下列规则的方式进行有放回的抽取小球，得到球颜色的观测序列：
1、按照π的概率选择一个盒子，从盒子中随机抽取出一个球，记录颜色后放回盒子中；
2、按照某种条件概率选择新的盒子，重复该操作；
3、最终得到观测序列：“白黑白白黑”

例如： 每次抽盒子按一定的概率来抽，也可以理解成随机抽。
第1次抽了1号盒子①，第2次抽了3号盒子③，第3次抽了2号盒子②.... ； 最终如下：
①→③→②→②→③ 状态值
白→黑→白→白→黑 观测值

1、 状态集合： S={盒子1，盒子2，盒子3}
2、 观测集合： O={白，黑}
3、 状态序列和观测序列的长度 T=5 (我抽了5次)
4、 初始概率分布： π 表示初次抽时，抽到1盒子的概率是0.2，抽到2盒子的概率是0.5，抽到3盒子的概率是0.3。
5、 状态转移概率矩阵 A：a11=0.5 表示当前我抽到1盒子，下次还抽到1盒子的概率是0.5；
6、 观测概率矩阵 B：如最初的图，b11=第一个盒子抽到白球概率0.4，b12=第一个盒子抽到黑球概率0.6;

在给定参数π、A、B的时候，得到观测序列为“白黑白白黑”的概率是多少?

这个时候，我们不知道隐含条件，即不知道状态值：①→③→②→②→③ ；
我们如何根据π、A、B求出测序列为“白黑白白黑”的概率？

02 隐马尔可夫模型 - HMM的三个问题 - 概率计算、学习、预测

㈡ 鞅过程与马尔科夫过程的关系

鞅和马尔可夫过程没有包含的关系。因为鞅代表的是公平游戏，而马尔可夫过程侧重过程无记忆性。两者没有内在联系。

鞅（martingale）：如果随机过程X(t)满足对任意的s<t，都满足，则称为鞅。

直观上而言，已知鞅过程在某一时刻的值时，其任意之后时刻的条件期望为这一时刻的值。从赌徒的角度来看，它是一个公平的游戏。

举例而言，如果我们在玩摇骰子比大小的游戏，每一轮输家要给赢家一元钱。假设游戏公平，在第十局结束后，你已经发现自己赢了4元，在十一局时，由于游戏的公平性，你有一半几率赢一元，也有一半几率输一元。此时你在第十一局结束后收益的条件期望为4元。甚至，在第二十局时你收益的期望依然是4元。从第十局以后，无论局数为多少，你的条件期望都会等于在第十局的收益。此时你的收益就是一个鞅过程。

马尔可夫过程（Markov Process）：如果随机过程X(n)满足对任意时刻，给过去全部经历的路程，其分布与给最近一点的位置相同，即。

直观上而言，如果我要研究一个马尔可夫过程未来的发展，你给我这个过程经历的路程与给我你最后观察到的点的位置是等价的，即拥有路程并不能带来更多的信息。这或许有点难以理解，但如果你假设股票的价格是马尔可夫过程，那么你做决策仅仅在乎此时的股票价格而不会在乎股票整体的走势。这说明，马尔可夫过程侧重于过程的无记忆性。

举例而言，小红家住在10楼，她可以坐电梯或者走楼梯下楼。但是楼梯口某个位置特别暗，有可能会在那栽跟头。如果我们假设这是个马尔可夫过程，当我们观察到小红今天走楼梯下楼时，我们就会说小红今天有几率p在那边摔倒，此时摔倒的几率为一个常数。转而言之，我们并不在乎小红走过多少次楼梯口，我们假设她永远不会从上次的摔倒中学习。也就是说，小红在楼梯口摔了一次与摔了十次后，只要观察到她走楼梯，她就有相同的机会在同样的地方栽跟头。

对于布朗运动而言，其既是鞅又是马尔可夫过程。

由于布朗运动的增量独立且均值为0的特性，（即与独立且均值为0）。我们很容易证明布朗运动即是鞅又是马尔可夫过程。但对于一般的情形，鞅与马尔可夫过程并没有更多相关性。究其原因，是因为两者的侧重点不同，鞅侧重公平性，而马尔可夫过程侧重无记忆性。这两者并无联系。

两者无包含关系举例。

是马尔可夫却不是鞅的过程：带飘移的布朗运动：。此时无记忆性并不违背，因为与都具有独立增量，因此知道路径并不会比知道最近的点要优越。但是这个过程却不是鞅，因为它并不公平。由于飘移项的引入，其均值会一直增大，在赌博中，如果你的期望收益一直变大，那这个游戏一定不会是公平的。因此，这个过程是马尔可夫却不是鞅。

是鞅却不是马尔可夫的过程：过程相关的Ito积分：。此时在t时刻的增量会是与过去所有路径的积分相关的随机变量。此时仅仅知道最近一点的观察值不足以给出很好的预测，我们需要知道全部的路程。但这个过程却会是鞅，因为每一个增量都可以表示成路径和布朗运动增量的和，而布朗运动均值为零，故其增量会为零，不违背鞅的性质。因此，这个过程是鞅而不是马尔可夫。

㈢ 随机过程在金融领域应用的有关题目，请教高人指点~~~

解答：本题我们可以直接利用独立同分布的对数正态随机变量的定义来解答。
1）假设Z是标准正态随机变量，则第一周股票价格上升的概率是
P（S(1)/S(0) >1）=P{ln[S(1)/S(0) ]>0}=P{Z>-0.0165/0.0730}=P{Z>-0.226}=P{Z<0.226}查表约等于0.5894. 于是连续两周价格上升的概率为(0.5894)²=0.3474.
2)两周后的股票价格高于今天的价格概率为P{S(2)/S(0) >1}=P{[S(2)/S(1)][S(1)/S(0)>1}
=P{ln[S(2)/S(1)]+ln[S(1)/S(0)>1}>0
=P{Z>-0.0330/0.0730√2}=P{Z>-0.31965}=P{Z<0.31965}查表约等于0.6354.

㈣ 马尔科夫链在经济预测和决策中的应用

马尔科夫链对经济预测和决策是通过模型来进行的。
马尔可夫链，是指数学中具有马尔可夫性质的离散事件随机过程。该过程中，在给定当前知识或信息的情况下，过去（即当前以前的历史状态）对于预测将来（即当前以后的未来状态）是无关的。
马尔科夫链是一种预测工具。适宜对很多经济现象的描述。最为典型的就是对股票市场的分析。有人利用历史数据预测未来股票或股市走势，发现并不具备明显的准确性，得出的结论是股市无规律可言。
经济学者们用建立马尔科夫链模型来进行预测和决策，一般分为三步，设定状态，计算转移概率矩阵，计算转移的结果。

㈤ 用人工智能计算股票的涨和跌可行吗

其实现在人工智能发展的这么快，我们很多事情借助电脑的帮助就可以完成了，但是股价这个波动性，随机性这么强的东西，我觉得还是不行。只要把这个函数写出来就可以预测股价了。这个函数是什么样子的? 我们可以尝试用N个模型(线性，非线性, 概率)来进行逼近。如果股价的变化是符合这几个模型的，那么在有足够多的训练数据的情况下，股价将被模拟出来。但是事实是，在尝试过许多许多模型的情况下，这些模型几乎没能预测股价的变化，有的模型只能在特定的区间能做一些不是十分精准的预测。

所以说，电脑是不能这么干的。